ผสม finite difference – finite element เข้าด้วยกัน: ไม่ใช่เรื่องยากเกินความเป็นจริง...

25 มิถุนายน 2555

 

        สำหรับการแก้สมการ partial differential equation ที่มีความสลับซับซ้อนที่ไม่สามารถแก้ได้โดยวิธี integral equation (IE) ซึ่งมีหลากหลายปัญหาโดยเฉพาะพวก boundary value problems ของทาง fluid mechanics & dynamics, thermal analysis, geophysics และอีกมากมายหลากหลายสาขา นักวิจัยมักแก้สมการเหล่านี้ โดยการใช้วิธีการประมาณหรือ approximation method ซึ่งแบ่งได้เป็นสองวิธีหลัก ได้แก่ finite difference (FD) method และ finite element (FE) method ทั้งสองวิธี เริ่มต้นจากการแบ่ง model domain ออกเป็น mesh ซึ่งเป็นช่องสี่เหลี่ยมจำนวนมากสำหรับ FD (ดังแสดงในรูปที่ 1.ก)และสามารถเป็นได้ทั้งแบบช่องสี่เหลี่ยมหรือสามเหลี่ยมหรือไม่มีโครงสร้างก็ได้สำหรับ FE (ตัวอย่าง mesh แบบสามเหลี่ยมแสดงในรูปที่ 1.ข) ส่วนตัวแปรที่ต้องการประมาณค่าจะอยู่ที่ nodes หรือที่มุมของ mesh ดังแสดงในรูป

 

รูปที่ 1 (ก) แสดงการแบ่ง mesh สำหรับ FD (ข) แสดงการแบ่ง mesh สำหรับ FE


        เนื่องจาก mesh เป็นช่องสี่เหลี่ยมในกรณีของFD จึงเป็นวิธีที่ทำได้ง่ายกว่า เวลาในการคำนวณรวดเร็วกว่าและใช้หน่วยความจำที่น้อยและก็เช่นกันเนื่องจาก mesh ของ FD เป็นสีเหลี่ยม ในกรณีที่รูปร่างแบบจำลองมีความซับซ้อนมาก ในทางธรณีฟิสิกส์ เช่นมีความสูงชันของพื้นที่ (topography)ข้อดีเหล่านี้จะกลายเป็นข้อด้อย เพราะการประมาณความสูงชันของพื้นที่ต้องใช้ mesh ขนาดเล็กๆ จำนวนมากๆ ทั้งในแนวดิ่งและแนวนอน ทำให้ความรวดเร็วของการคำนวณลดลงและยังใช้หน่วยความจำสูงมาก ในกรณีมีความสูงชันของแบบจำลองหรือในกรณีสลับซับซ้อน วิธีที่เหมาะสมกว่า คือ FE เพราะ mesh ไม่จำเป็นต้องเป็นสีเหลี่ยม จึงทำให้จำลองความสูงชันได้อย่างดีกว่าจึงเป็นข้อดีของ FE แต่สมมติว่านำ FE ไปใช้กับแบบจำลองง่ายๆ ที่ FD ก็ทำได้จะเห็นว่าเวลาที่ใช้ในการคำนวณของ FE จะช้ากว่าและใช้หน่วยความจำมากกว่า อีกอย่างคือการนำ FE ไปใช้งาน คณิตศาสตร์ของ FE จะค่อนข้างยุ่งยากกว่า FD เหล่านี้จึงเป็นข้อด้อยของ FE

 

รูปที่ 2 แสดงการแบ่ง nodes สำหรับวิธีผสม FD – FE จุดสีดำเป็น nodes ของ FE ส่วนจุดสีขาวเป็น nodes ของ FD จะเห็นได้ว่าเราใช้ FE ในบริเวณที่มีความสูงชันส่วนบริเวณที่เป็นพื้นที่ราบเรียบเราใช้ FD


        ดังนั้นการนำข้อดีและข้อด้อยของทั้งสองวิธีมาผสมกันน่าจะดีที่สุด กลุ่มวิจัยธรณีฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยมหิดล จึงนำทั้งสองวิธีมาผสมกัน โดยหลักการนั่นง่ายและตรงไปตรงมา พื้นที่ที่มีความสูงชัน เราจำลองด้วย FE ส่วนพื้นที่ด้านล่างเราจำลองด้วย FD ดังแสดงในรูปที่ 2 nodes สีขาวคือ FD ส่วน nodes สีดำคือ FE สมการที่ต้องแก้ในตอนนี้จะเป็นสมการที่ผสมกันระหว่าง FD และ FE โดยมีเพียง coefficients ที่คอยควบคุมว่า nodes ใดเป็น FD และ nodes ใดเป็น FE

 

รูปที่ 3 (บน) แสดงแบบจำลองที่ใช้ในการทดสอบประสิทธิภาพของตัวโปรแกรม (ล่าง) แสดงผลการจำลองข้อมูลจากโปรแกรมผสม FD – FE ในรูปแบบที่แตกต่างกัน


        ผลการทดลองกับแบบจำลองที่มีความสูงชัน (รูปที่ 3) พบว่า ถ้าประมาณแบบจำลองนี้ด้วย FD กับ FE โดยให้ทั้งสองกรณีมี unknown ที่เท่ากัน คำตอบที่ได้ของ FD แตกต่างจากค่าความเป็นจริงมากถึง 10% ในขณะที่น้อยกว่า 1% ของ FE แต่ในขณะเดียวกัน FD ใช้เวลารวดเร็วกว่าในการทำงานมากกว่า FE มากถึง 50% และใช้หน่วยความจำน้อยกว่า FE ถึง 25% ผลที่ได้เป็นไปตามที่คาดคิดเอาไว้ เมื่อนำวิธีการผสม FD – FE ไปใช้กับแบบจำลองนี้ ผลที่ได้คือมีความถูกต้องน้อยกว่า 1% เหมือนกับ FE (รูปที่ 3 ล่าง) ในขณะเดียวกันก็ใช้เวลาในการคำนวณและหน่วยความจำเพิ่มจาก FD เพียงไม่เกิน 5% เท่านั้น ข้อมูลเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงความมีประสิทธิภาพของการนำข้อดีของทั้งสองวิธีมาผสมกัน จะเห็นได้ว่า มันไม่ยากเหมือนที่คิด!

 

ข้อมูลเพิ่มเติมดูได้ใน
•Chatchai Vachiratienchai, SongkhunBoonchaisuk and Weerachai Siripunvaraporn, 2010,
A hybrid finite difference – finite element method to incorporate topography for 2D direct current (DC) resistivity modeling,
Physics of the Earth and Planetary Interiors, 183, 426 – 434.

รายงานโดย
รองศาสตราจารย์ ดร. วีระชัย สิริพันธ์วราภรณ์
ห้องปฏิบัติการธรณีฟิสิกส์ ศูนย์วิจัยฟิสิกส์บูรณาการ ศูนย์ความเป็นเลิศด้านฟิสิกส์
328 ถนนศรีอยุธยา กรุงเทพมหานคร 10400 และ ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์
มหาวิทยาลัยมหิดล 272 ถนนพระราม 6 ราชเทวี กรุงเทพ 10400